Résolutions d'équations - Exemples

Énoncé

On souhaite résoudre les quatre équations suivantes sur \(\mathbb{R}\).
1. \(\text e^x-\text e =0\)
2. \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0\)
3. \((\text {e}^x)^2-\text e^x\times\text e^6=0\)
4. \(\text e ^{8x+2}=\text e^{4x-2}\)

Solution

1. \(\text{e}^x-\text e=0\)
\(\Leftrightarrow\text e^x - \text e^1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^x = \text e^1\)
\(\Leftrightarrow x = 1\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{1\}\). 
2. \(\)L'équation est une équation produit nul, donc
\((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0\)
\(\\\Leftrightarrow \text e ^x - \text e^{-2} = 0 \space \text o\text u \space \text e^{12} - \text e^x = 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^x = \text e^{-2} \space \text o\text u \space \text e^{12} = \text e^x\)
\(\Leftrightarrow x=-2 \space \text o\text u \space 12=x\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{-2~; 12\}\).
3. \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^{2x} -\text{e}^{x+6} = 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^{2x} = \text{e}^{x+6}\)
\(\Leftrightarrow 2x = x+6\)
\(\Leftrightarrow x=6\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{6 \}\).
4. \(\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}\)
\(\Leftrightarrow 8x + 2 = 4x - 2\)
\(\Leftrightarrow 4x = -4\)
\(\Leftrightarrow x = -1\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{-1 \}\).